В вашем случае следует уточнить, не было ли со стороны нанимателя еще одного распространенного нарушения — отсутствия акта об опоздании, отсутствия объяснительной, взятой у вас. Судя по описанию, нарушения, вероятнее всего, были. Если обращение в инспекцию не помогает, если вы хотите получить компенсацию, то готовьте исковое заявление о восстановлении на работе, но помните, что в вашем распоряжении всего месяц. Иначе пройдет срок исковой давности. Сокращение в этом случае не достаточное основание для отказа, вам должны предложить альтернативы. В сборе документов и подготовке иска с грамотными формулировками поможет специалист.